Física y Quimica

Estudio de un muelle real

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Cálculos. Método gráfico

La fuerza elástica, responsable del MAS de la masa, viene dada por la expresión F = k x. Partiendo de la expresión de la 2ª Ley de la Dinámica y teniendo en cuenta el valor de la aceleración para un MAS, tenemos:

En la imagen se observa la representación gráfica del cuadrado del periodo (T2) frente a la masa en gramos. Tal y como predice la ecuación anterior la gráfica es una recta con pendiente 0,0117 s2/g. De aquí podemos extraer el valor de la constante elástica del muelle:

No obstante, la recta no pasa por el origen, tal y como predice la ecuación obtenida. La ordenada en el origen tiene un valor de 0,0664 s2, valor nada despreciable, y que no puede atribuirse a errores experimentales a la hora de obtener los datos.

¿Cuál es la razón de esta falta de concordancia entre los datos experimentales y la ecuación teórica?

En la figura que se muestra (derecha) se ha desplazado la línea obtenida hasta que coincida justamente con el origen de ordenadas (línea roja). Sería ésta la situación ideal predicha por la ecuación vista más arriba.

La línea tiene idéntica pendiente que la anterior (por lo tanto igual k), pero se puede observar (líneas punteadas verticales y horizontales) que la gráfica se corresponde con la de un cuerpo cuya masa es de unos 5,5 g superior a la realmente colgada. En el detalle que se puede ver debajo se muestra este exceso de masa en dos puntos distintos.

En la descripción teórica planteada inicialmente se consideraba nula la masa del muelle. Un estudio más realista de la situación debería de tener en cuenta este factor. El tratamiento matemático del problema no es sencillo (ver artículo del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Cantabria), pero se concluye que ha de asociarse al muelle una "masa efectiva", o masa equivalente, igual a un tercio de su masa (me =1/3 m0). Esta masa debe de añadirse a la del cuerpo para que el periodo de oscilación coincida con el medido realmente. Dado que en nuestro caso la masa del muelle era de 15,4 g, su masa efectiva sería de 5,1 g lo que se corresponde con el exceso de masa indicado con un error de un 7,8%.

La masa efectiva del muelle puede también calcularse si se reescribe la ecuación que relaciona T2 y m añadiendo a la masa del cuerpo la masa efectiva del muelle, me:

Según esta ecuación la ordenada en el origen (b =0,0664 s2) debería ser igual al segundo sumando. Por tanto:

Resultado que coincide exactamente con el obtenido gráficamente más arriba.